6/28 Día de τ

Antes de empezar les diré que τ es una letra griega que se pronuncia "tau", para hacerles la vida más fácil.

¿Se acuerdan cuando al final del post acerca del día de π les dije que nos veríamos el 28 de junio (no mientas, yo se que no te acuerdas), pues aquí estoy para hablarles acerca de otra constante matemática que no es tan popular como su contemporánea pero no hablemos de esa otra letra... no, saben qué, lo siento pero lo tengo que decir:

 ¡π ESTÁ MAL!

"Espera ... ¿qué?", "¿Cómo que está mal de que diantres estás hablando?". Bueno pues les tengo que decir que todo este tiempo han sido engañados, π no es el numero perfecto brotando de magia matemática que piensan, al menos no lo es tanto comparándola con τ. Lo que quiero decir es que π no es tan... ¿cómo decirlo?, eficiente ni intuitiva. Es un número FEO que no es nada descriptivo y siempre es usado de manera innecesaria, teniendo un mejor número como τ a la mano.

En su ensayo "π is Wrong!", Bob Palais explica que no es que π sea incorrecta, si no que es "una elección confusa y nada natural para ser la constante definitiva que debe definir al circulo", pero eso no suena tan chido. 

El problema con π es que está definida a partir del diámetro (siendo la división entre la circunferencia y el diámetro como todos sabemos... obvio se acuerdan). Pero un círculo está definido a partir del radio (siendo infinitos puntos que se encuentran a la misma distancia de un centro, y esa distancia se le conoce como radio). Entonces no concuerdan las cosas y por eso Palais propone definir una nueva constante que sea la división de la circunferencia entre el radio. Y así nació la letra rara esta sin nombre:

Tiempo después en el "TAU Manifesto", Michael Hartl propuso un mejor símbolo y nombre: τ. Pero entonces ¿cuál es el valor de esta mágica constante?. Muy fácil, al ser definida con el radio en lugar del diámetro como esa otra constante fea:

τ = 2π = 6.28318...

Chale, ¿y se supone que ese es mejor número?, si namas es el doble de π, ¿cuál es el gran trato? como dicen en Gringolandia. Pero yo te explicaré por qué deberíamos usar τ más seguido.

La razón más importante, es porque tiene más sentido a la hora de usar ángulos. ¿Sí se acuerdan de esto verdad?

Bueno pues esos son ángulos medidos en grados, pero también los podemos medir con otra unidad llamada radianes. Esto está papita, ¡sí se acuerdan hombre!.

Entonces podemos empezar a definir los ángulos basándonos en π:

Ándale no se esperaban ver un .gif

Pero al medir con base a π nos encontramos que al dar una vuelta estamos dando una vuelta de 2π radianes (???) y media vuelta es solo un π radianes, pero eso no es todo. Un cuarto de vuelta es π/4 radianes ¿verdad?, no, obviamente es π/2; y 3/4 de vuelta son 3π/4 radianes ¿no?, tampoco, es 3π/2, no seas imbécil. ¿Dónde está la lógica en eso?.

Y es que el problema surge porque como ya les dije, π está definido a partir del diámetro y por eso no es compatible con los RADIanes.
 

Pero ahora veamos cómo se ve un circulo midiendo los radianes con la verdadera constante, τ:

Miren, media vuelta es τ/2 radianes; y tres cuartos de vuelta es 3τ/4 radianes; y por supuesto una vuelta completa son solo τ radianes, así sin complicación alguna. Esto es muchísimo mas fácil de entender y aprendes, no que ahora tenemos que memorizarnos esos valores de π sin sentido alguno ni poder usar la intuición.

Pero eso no es todo, τ siempre ha estado presente en nuestras vidas. Solo que ha tenido que ser disfrazado a causa de esa otra constante egoísta y llena de orgullo que prefiere complicar las formulas con tal de que aparezca en ellas. A lo que me refiero es que τ o mas bien 2π ha aparecido en cientos de formulas matemáticas a través de los años. Miren aquí esta 2π en las integrales del espacio con coordenadas polares:

Y de nuevo aquí en la formula de distribución Gaussiana:

 ¡Y en las transformadas de Fourier aparece 2π!

¡En la integral de Cauchy!

¡Y hasta en la funcion zeta de Reimann hay 2π!

De seguro han de pensar, "bueno pero ¿que hay de las formulas que usan solo π y no 2π?". Pues hablemos de ellas, veamos la "ecuación más hermosa en las matemáticas", la famosa identidad de Euler:

La gente dice que es hermosa por el hecho de que usa 3 números super complejos (e, i y π) y termina siendo una función elegante con un 1 y un 0. Solo que hay un problema: ¡esa no es la verdadera identidad!. En realidad está acomodada así para que se vea toda bonita. La verdadera forma es esta:

¿La ecuacion mas hermosa de TODAS las matemáticas contiene un feo -1?, ¡PFF!.Osea que la ecuación más hermosa que existe necesita que la maquillen para que la gente la vea hermosa. Ahora veamos cómo sería la identidad de Euler si usamos τ:

Miren eso, esta ecuación es bella por naturaleza y no necesita que la acomoden ni la modifiquen para que la gente la pueda aceptar. Eso sí es verdadera belleza innata.

Pero esa ecuación la gente normal no la usan, ¿Qué hay de esa otra formula que todos los niños en la primaria se tuvieron que aprender?. ¡Ah!, se refieren a la fórmula del área de un círculo. Ok veamos que pasa aquí.

La fórmula en cuestión es esta:

Ok, en esta solo aparece π sin ese 2 a su lado y es la fórmula más importante en la que puede aparecer esta constante. Solo que usamos esta formula porque no teníamos de otra. En realidad Arquímedes definió el área de un círculo como el área de un triángulo de base C (la medida de la circunferencia) y altura r (radio). y Como sabemos la circunferencia es igual a πd (π por el diametro), pero recuerden que dar una vuelta es igual a un τ radianes, osea que C = τr (τ por radio).

Entonces la definición de Arquímedes queda asi:

Osea que el Área de un círculo es en realidad 1/2 de
τ por el radio al cuadrado. Y si no les convence Arquímedes, usando integrales llegamos al mismo resultado:

Y si piensan que eso no se ve natural, pues déjenme decirles que esa forma con el 1/2 y el cuadrado aparece en otras fórmulas de fisica y es algo muy recurrente, chequen:

Ahi lo tienen mis queridos 20 lectores. Esto se los digo para que no sean cegados por la propaganda de π y que no crean que es el numero magico que nos han inculcado desde la primaria para que adoremos y nunca veamos como la malvada, engreída, complicada, falsa constante que es en realidad.

Este día de τ (hoy 28 de Junio, ya saben porque es 6.28... y a la gente incivilizada le gusta escribir las fechas como 6/28) aboga por tu constante. La que sí es hermosa, nada complicada, gentil y modesta. Apoyemos a τ por siempre para que no sea opacada por esa otra constante maligna.

¡FELÍZ DÍA DE τ!